Buscas un número que divida exactamente tanto a 30 como a 45. Entre todos los que lo hacen, interesa el mayor; no un múltiplo de los datos.
PISTA 2
Comparar los factores disponibles
Escribe 30=2·3·5 y 45=3·3·5. Selecciona únicamente los primos presentes en ambos, sin tomar más copias de las que tiene el número con menos.
PISTA 3
Comprobar el candidato
Multiplica los factores seleccionados y divide cada dato entre el candidato. Ambos cocientes deben ser enteros; si aún comparten un factor mayor que uno, tu divisor común no era el máximo.
Un desarrollo posible.
30=2·3·5 y 45=3²·5; los factores reconstruyen las cantidades dadas.
Los primos comunes son 3 y 5, con exponentes mínimos 1: el candidato es 3·5=15.
30/15=2 y 45/15=3 son enteros sin factor común mayor que 1; por tanto MCD(30,45)=15.
El número buscado debe aparecer en la tabla de múltiplos de 6 y en la de 14. Pedimos la primera coincidencia positiva, no un divisor compartido.
PISTA 2
Reunir los factores necesarios
Descompón 6=2·3 y 14=2·7. Tu candidato necesita contener todos los primos exigidos por ambos, con las copias suficientes pero sin repetir innecesariamente las que comparten.
PISTA 3
Revisar que sea el menor
Comprueba que el candidato dividido entre 6 y entre 14 dé enteros. Después piensa si quitar cualquiera de sus factores primos haría fallar una de esas dos divisiones.
Un desarrollo posible.
6=2·3 y 14=2·7; necesitamos los primos 2, 3 y 7 para contener ambos números.
Con los exponentes máximos obtenemos 2·3·7=42; no repetimos innecesariamente el 2 compartido.
42/6=7 y 42/14=3 comprueban la divisibilidad.
Retirar cualquier primo impediría una de estas divisiones exactas.
Se pide cuántos divisores hay, no escribir el valor de uno de ellos. Cada divisor positivo forma una pareja de producto 12.
PISTA 2
Contar los factores de cada pareja
Empieza con 1·12 y 2·6, y busca la pareja que falta antes de que se repitan en orden inverso. Anota los dos factores de cada pareja y elimina duplicados si los hubiera.
PISTA 3
Cerrar la lista
Al pasar de 3·4 a 4·3 ya no aparece una pareja nueva. Cuenta los números distintos anotados; como 12 no es un cuadrado, ninguna pareja tiene sus dos factores iguales.
Un desarrollo posible.
Las parejas de producto 12 son 1·12, 2·6 y 3·4.
Reunimos sus factores distintos: 1, 2, 3, 4, 6 y 12; a partir de 4 las parejas se repiten.
Hay seis números en la lista, de modo que 12 tiene 6 divisores positivos. No contamos negativos.
Empieza en el primer entero posterior a 20 y examina los siguientes sin saltarte candidatos. Necesitas el menor que sea primo.
PISTA 2
Descartar con divisiones exactas
Un candidato es compuesto si encuentras un divisor distinto de uno y de él mismo. Para los primeros candidatos posteriores a 20, comprueba 2 y 3: si ambos factores fueran al menos cinco, su producto ya sería al menos 25.
PISTA 3
Justificar por qué es el primero
Cuando un candidato supere las pruebas necesarias, revisa que hayas descartado todos los enteros anteriores mayores que 20. Encontrar cualquier primo posterior no basta.
Un desarrollo posible.
Después de 20, el 21 es 3·7 y el 22 es 2·11: son compuestos.
Para 23 probamos los primos no mayores que su raíz, que está entre 4 y 5: 2 y 3. Ninguno divide a 23.
23 es primo y se han descartado los enteros intermedios; es el menor primo mayor que 20.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
Dos autobuses salen juntos ahora y vuelven a salir cada 15 y 20 minutos, respectivamente. ¿Dentro de cuántos minutos coincidirán por primera vez después de esta salida?
El tiempo transcurrido debe contener un número entero de intervalos de 15 minutos y también de 20. Como se pide después de ahora, el tiempo tiene que ser positivo.
PISTA 2
Escoger la primera coincidencia
Buscas el menor múltiplo común positivo de los períodos. Puedes comparar 15, 30, 45… con 20, 40… o reunir los factores de 15=3·5 y 20=2²·5.
PISTA 3
Contar períodos completos
Divide tu candidato entre 15 y entre 20. Ambos cocientes deben ser enteros y no puede existir una coincidencia positiva anterior.
Un desarrollo posible.
La próxima coincidencia se interpreta después de una salida común, con períodos constantes de 15 y 20 minutos.
15=3·5 y 20=2²·5; el mcm es 2²·3·5=60 minutos.
60/15=4 y 60/20=3 son números enteros de períodos.
La elección de exponentes máximos garantiza la primera coincidencia posterior.