Identifica cuántas cifras hay después de la coma. Esa cantidad determina si cada parte es una décima, centésima o milésima.
PISTA 2
Conservar el valor al quitar la coma
Multiplica todo el número por la potencia de diez correspondiente para obtener un entero. Para recuperar el valor original, ese entero debe dividirse por la misma potencia.
PISTA 3
Reducir sin cambiar la cantidad
Busca el máximo común divisor del numerador y el denominador y divide ambos por él. La respuesta debe ser una fracción de enteros sin factores comunes; comprueba que sigue entre dos y tres.
Un desarrollo posible.
El decimal 2,45 tiene dos posiciones decimales, así que equivale a 245/100.
El MCD de 245 y 100 es 5; dividimos ambos términos por ese mismo número.
Obtenemos 49/20, irreducible porque 49 y 20 no comparten factores primos.
Se repite el bloque 12 completo, no solamente su última cifra. Cuenta las posiciones que ocupa una copia.
PISTA 2
Alinear dos colas iguales
Llama x al número. Multiplícalo por la potencia de diez que desplaza una copia del período y escribe esa igualdad encima de x; las colas deben empezar otra vez por el mismo bloque.
PISTA 3
Restar antes de dividir
Resta las dos igualdades. La cola desaparece y queda una ecuación con x. Despeja dividiendo por el coeficiente que ha quedado y conserva una fracción exacta.
Un desarrollo posible.
Sea x=0,121212… con período de longitud dos; 100x=12,121212….
La resta 100x−x elimina las colas y da 99x=12.
Por tanto x=12/99=4/33 al simplificar entre tres.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Convierte a fracción 0,083333… con solo el 3 periódico.
Las cifras no repetidas son 0 y 8 después de la coma. El cero ocupa una posición aunque no cambie el entero que se forma al quitar la coma.
PISTA 2
Situar la repetición en el mismo lugar
Escribe 100x y 1000x. Sus colas decimales empiezan con el mismo 3 repetido; son esas dos expresiones las que se restan.
PISTA 3
Restar los enteros y los multiplicadores
En el numerador se resta la parte entera de la copia menor a la de la mayor. En el coeficiente de x se restan sus dos potencias de diez. Divide y simplifica la fracción que resulte.
Un desarrollo posible.
El anteperíodo es 08 y tiene dos cifras, mientras el período es solo 3.
Las expansiones 100x=8,333… y 1000x=83,333… tienen la misma cola; su diferencia es 900x=75.
Despejamos x=75/900 y simplificamos entre 75 para obtener 1/12.
Los nueves continúan indefinidamente. Un decimal finito muy cercano sigue siendo una cantidad distinta: aquí no se pide redondear.
PISTA 2
Incorporar también la parte entera
Llama x al número completo y escribe 10x. Al restar x, cancela las colas iguales y resta también sus partes enteras.
PISTA 3
Comprobar una igualdad exacta
Despeja el número de la ecuación obtenida. No hace falta inventar una última cifra de la expansión: la igualdad entre las dos colas es lo que permite terminar.
Un desarrollo posible.
Sea x=1,999…; al desplazar una cifra, 10x=19,999….
Restar las colas idénticas produce 9x=18.
De ahí x=2 exactamente; una repetición infinita de nueves no deja una diferencia positiva respecto a ese entero.