¿Cuál es el generador positivo de √(18) en Z?
Conserva cada factor primo una vez.
Un entero a tiene alguna potencia divisible por 18 exactamente cuando es divisible por 2 y por 3.
Eso equivale a que 6 divida a; si a=6b, su cuadrado ya es múltiplo de 18.
¿(9) es primo en Z? Responde sí/no.
Comprueba 3·3.
Para ser primo, un ideal propio debe contener algún factor de todo producto que contenga.
Falla la condición de primalidad. La respuesta es no, aunque (9) sí es primario.
¿Cuántos primos mínimos tiene (30) en Z?
Factoriza 30.
Los ideales primos de Z que contienen (30) son (2),(3),(5), ya que su generador debe dividir 30.
Ninguno contiene a otro de esa lista; son los tres mínimos. La respuesta es 3.
Prueba (4)∩(6)=(12).
Usa divisibilidad simultánea y mcm.
Un entero pertenece a (4)∩(6) si y solo si es divisible simultáneamente por 4 y por 6.
Su factorización debe contener al menos 2² y 3, equivalentes a divisibilidad por 12.
Así la intersección es (12). El producto (24) es menor y no contiene 12, que sí está en la intersección.
Demuestra que (x²) no es radical en k[x].
Compara x y su cuadrado.
Sin embargo x∉(x²): un múltiplo no nulo de x² tiene grado al menos 2, mientras x tiene grado 1.
Por tanto un elemento con una potencia en el ideal puede no pertenecer al ideal. (x²) no es radical.