¿Cuál es la dimensión de Krull de un cuerpo?
Solo tiene el ideal primo cero.
En un cuerpo k los únicos ideales son (0) y k; el ideal total no cuenta como primo.
Solo queda el primo (0), por lo que no hay inclusiones estrictas entre primos.
La cadena de un único término tiene longitud 0 y dim k=0.
¿Cuál es la longitud de (0)⊊(x)⊊(x,y) en k[x,y]?
Cuenta inclusiones.
La longitud de una cadena cuenta los pasos entre términos consecutivos.
Desde (0) hasta (x) hay un paso y desde (x) hasta (x,y) hay otro.
Hay 2 inclusiones estrictas, así que la longitud es 2.
¿1/2 es integral sobre Z? Responde sí/no.
Los racionales integrales sobre Z son enteros.
Si 1/2 fuera integral, satisfaría (1/2)ⁿ+a_(n−1)(1/2)^(n−1)+⋯+a₀=0 con todos los aᵢ enteros.
El lado izquierdo es impar y no puede ser cero. Por tanto la respuesta es no.
Prueba que todo r∈R es integral sobre R.
Busca un polinomio de grado uno.
Su coeficiente principal es 1, por lo que es mónico.
Así todo elemento de R es integral sobre R.
Explica por qué 2T−1 no prueba que 1/2 sea integral sobre Z.
Comprueba su coeficiente principal.
El polinomio 2T−1 tiene a 1/2 como raíz, pero su coeficiente principal es 2.
La definición de integralidad exige una ecuación con coeficiente principal 1 dentro de Z[T].
Dividir esa ecuación por 2 introduce el coeficiente −1/2, que no está en Z. La ecuación solo prueba algebraicidad sobre Q.