¿Cuál es dim k[x]_(x)?
La cadena es (0)⊊(x).
Los primos de k[x]_(x) son los correspondientes a los primos de k[x] contenidos en (x).
Son (0) y (x), con una única inclusión estricta.
La dimensión es 1; no se está contando el número de términos de la cadena.
Para k[ε]/(ε²), ¿cuánto vale dim_k(m/m²)?
m tiene base ε y m²=0.
Todo elemento de m es un múltiplo de la clase ε y esa clase no es cero.
¿Cuál es la profundidad de un cuerpo?
Su maximal es cero.
El único maximal de un cuerpo k es 0.
No hay un elemento de ese maximal que actúe inyectivamente por multiplicación, porque el único candidato es cero y k no es nulo.
Solo queda la sucesión vacía, de longitud cero; la profundidad es 0.
Prueba que ε es divisor de cero en k[ε]/(ε²).
Busca un elemento no nulo que anule.
La clase de ε no pertenece a la relación (ε²), por lo que no es cero.
Su producto consigo misma es la clase de ε², que sí es cero.
Existe por tanto un elemento no nulo que ε anula: es un divisor de cero.
Explica por qué un cuerpo es un anillo local regular.
Calcula maximal, dimensión y espacio cotangente.
Su único primo es 0, de modo que su dimensión de Krull es cero.
El espacio cotangente m/m² también es cero y tiene dimensión cero. Coinciden ambas cantidades y el cuerpo es regular.