¿Cuál es la dimensión compleja del centro de M₃(C)?
Son los escalares.
El centro de M₃(C) se calcula conmutando con las matrices elementales.
Las proyecciones diagonales obligan a diagonalidad y Eᵢⱼ obliga a igualar todas las entradas diagonales.
Así Z(M₃(C))={λI:λ∈C}, espacio generado por I de dimensión compleja 1.
¿Cuál es la dimensión compleja del álgebra diagonal 4×4?
Cada entrada diagonal es libre.
Una diagonal 4×4 queda determinada por cuatro números complejos.
Las matrices E₁₁,E₂₂,E₃₃,E₄₄ la generan y son linealmente independientes, pues cada una ocupa una coordenada distinta.
La dimensión compleja es 4.
¿Cuál es la dimensión compleja de M₂(C)?
Cuenta entradas.
Una matriz 2×2 tiene las entradas a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂.
Las cuatro matrices elementales forman una base: cada matriz se expresa de forma única en ella.
Prueba que M está contenido en M″.
Todo elemento del conmutante conmuta con M.
La definición de conmutante da TA=AT; esta igualdad también dice que A conmuta con todo T de M′.
Explica por qué un álgebra abeliana está contenida en su conmutante.
Sus elementos conmutan entre sí.
Fijado A∈M, esa igualdad comprueba exactamente que A∈M′.
Para obtener igualdad es necesaria la maximalidad abeliana en la representación considerada.