EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Para f(x)=x en [0,1], calcula p₀(f).
- PISTA 1
Una pista
Es la norma supremo.
Un desarrollo posible.
p₀ solo usa la derivada de orden cero: p₀(f)=sup|f|.
En x=1 se alcanza 1; luego p₀(f)=1.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para f(x)=x², calcula p₁(f).
- PISTA 1
Una pista
Compara supremos de f y f′.
Un desarrollo posible.
Para f=x², su supremo absoluto en [0,1] es 1.
Su primera derivada es 2x, cuyo supremo es 2.
p₁ es el máximo de ambos controles: max(1,2)=2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Para p(x,y)=|x|, calcula p(−3,7).
- PISTA 1
Una pista
Solo cuenta la primera coordenada.
Un desarrollo posible.
La definición p(x,y)=|x| ignora la segunda coordenada.
Sustituir (−3,7) da p(−3,7)=|−3|.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que una norma es una seminorma.
- PISTA 1
Una pista
Compara axiomas.
Un desarrollo posible.
Una norma toma valores no negativos y se anula en cero.
Satisface homogeneidad absoluta y desigualdad triangular, los axiomas de una seminorma.
Además exige que solo el vector cero se anule. Esa condición adicional no impide que toda norma sea seminorma.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué controlar todas las derivadas no equivale a controlar solo f.
- PISTA 1
Una pista
Considera oscilaciones rápidas.
Un desarrollo posible.
Tomamos fₙ(x)=sin(nx)/n, que es suave en [0,1].
La desigualdad |sin(nx)|≤1 da p₀(fₙ)≤1/n→0.
Pero fₙ′(x)=cos(nx) y fₙ′(0)=1, por lo que p₁(fₙ)≥1.
Converge para el control de valores y no para el de primera derivada; por tanto tampoco converge a cero en la topología suave.