Si dim ker T=4 y dim coker T=2, calcula el índice.
Resta los defectos.
El índice usa el orden núcleo menos conúcleo.
La diferencia es 2, suponiendo como en el enunciado que T es Fredholm.
¿Cuál es el índice de un operador invertible?
Núcleo y conúcleo son cero.
Un operador invertible tiene núcleo {0}.
Su imagen es todo el codominio, por lo que el conúcleo es cero y la imagen es cerrada.
Para un mapa R⁵→R³, ¿cuál es el índice?
En dimensión finita resta dimensiones.
Sea r el rango del mapa, que puede variar entre 0 y 3.
Por rango–nulidad, el núcleo tiene dimensión 5−r y el conúcleo dimensión 3−r.
Da un operador finito-dimensional de índice cero que no sea invertible.
Usa el mapa cero entre espacios de igual dimensión.
Su núcleo es R y su imagen {0}; el conúcleo R/{0} también tiene dimensión uno.
El índice es 1−1=0, pero T no es inyectivo ni sobreyectivo, por lo que no es invertible.
Prueba la fórmula de índice finito usando rango-nulidad.
Escribe ambos defectos en función del rango.
Rango–nulidad da dim ker T=dim V−r y la fórmula del cociente da dim coker T=dim W−r.
Restamos las expresiones: ind T=(dim V−r)−(dim W−r)=dim V−dim W.
El rango se cancela y la imagen es cerrada automáticamente en dimensión finita.