¿Cuál es ||Te₇|| en el modelo diagonal?
La norma de e₇ es uno.
e₇ pertenece al dominio por tener soporte finito.
¿Cuál es el autovalor asociado a e₃?
Lee el índice.
e₃ es un vector no nulo del dominio.
Aplicando T, su única coordenada activa se multiplica por 3: Te₃=3e₃.
Por definición, el escalar que multiplica al autovector es el autovalor; vale 3.
¿La igualdad de fórmulas basta para que dos operadores no acotados sean iguales? Responde sí/no.
Compara también dominios.
Un operador consta del dominio y de la aplicación definida en él.
Dos expresiones iguales pueden imponerse sobre dominios distintos, como ocurre con condiciones de frontera.
La igualdad de operadores exige igualdad de dominios y de valores sobre ellos; la respuesta es no.
Explica por qué la sucesión xₙ=1/n pertenece a ℓ² pero no al dominio diagonal.
Compara Σ1/n² con Σ1.
Esa serie diverge y la imagen formal constante no es cuadrado sumable; x no pertenece al dominio.
Distingue simétrico y autoadjunto.
La clave es el dominio del adjunto.
Para un operador densamente definido, simetría exige la identidad de producto interno dentro de D(T).
Eso equivale a T⊂T*: el adjunto coincide allí pero puede estar definido en más vectores.
Autoadjunción exige además D(T*)=D(T), de modo que la inclusión es igualdad.
El operador −i d/dx con valores cero en ambos extremos es simétrico y su adjunto admite todas las funciones H¹; ilustra por qué la distinción es real.