Si φ′(0)=3, calcula ⟨δ₀′,φ⟩.
Recuerda el signo de la derivada.
Con el signo menos resulta −3.
Un escalón salta de 2 a 7. ¿Qué coeficiente tiene su delta derivada?
Resta valor derecho menos izquierdo.
El valor derecho es 7 y el izquierdo es 2.
Podemos escribir la función como 2+5H; su derivada es 0+5δ₀, así que el coeficiente es 5.
Si φ(0)=4, calcula ⟨δ₀,φ⟩.
Delta evalúa en su soporte.
La definición de δ₀ es evaluar la función de prueba en cero.
Por tanto ⟨δ₀,φ⟩=4; aquí no se deriva ni aparece signo negativo.
Prueba que la derivada débil de una constante es cero.
Integra φ′ en toda la recta.
Si el soporte de φ está en [−R,R], ∫φ′=φ(R)−φ(−R)=0 escogiendo extremos fuera del soporte.
La acción de c′ es cero sobre toda prueba; su derivada débil es la función cero.
Explica por qué la delta no puede representarse por una función L¹ local ordinaria.
Su soporte es un punto pero su masa no es cero.
Supongamos que δ₀ fuese T_f para alguna f∈L¹_loc.
Toda prueba soportada fuera de cero es anulada por δ₀, de modo que la distribución de f es cero allí; esto obliga a f=0 casi en todas partes fuera de cero.
El punto cero tiene medida de Lebesgue cero, así que f sería cero casi en todas partes de R.
Entonces T_f sería la distribución cero, contradiciendo ⟨δ₀,φ⟩=1 para una prueba con φ(0)=1.