¿Cuál es el orden diferencial de 1−∂²?
Mira la derivada de grado máximo.
La identidad aporta un término de orden cero.
−∂² contiene una segunda derivada con coeficiente no nulo.
El máximo orden derivativo es 2, por lo que ese es el orden diferencial.
Evalúa el símbolo 1+ξ² en ξ=3.
Sustituye la frecuencia.
¿Cuál es el grado de ξ₁²+ξ₂²?
Cada monomio tiene grado dos.
El grado total de ξ₁² es 2 y el de ξ₂² también es 2.
Los términos no se cancelan, porque son monomios distintos con coeficientes uno.
El grado máximo presente en la suma es 2.
Explica por qué ξ₁²+ξ₂² es elíptico en R².
Evalúalo fuera de ξ=0.
Si ξ≠0, al menos una coordenada es no nula, de modo que p(ξ)>0.
El principal no se anula en ningún covector no nulo, así que es elíptico.
Distingue parametrix e inversa exacta.
Una permite un resto regularizante.
Una parametrix Q cumple QP=I+R y PQ=I+S en el cálculo considerado, con R y S regularizantes.
Una inversa exacta exige QP=PQ=I, sin errores.
Un resto suave todavía puede actuar de manera no nula sobre un núcleo finito-dimensional; por ejemplo las constantes para el Laplaciano compacto.
La parametrix permite regularidad y Fredholm, mientras la inversa exacta necesita resolver además las obstrucciones globales.