En una sucesión exacta 0→A→B→C→0 de espacios vectoriales de dimensión finita, dim A=3 y dim C=5. Halla dim B.
Suma dimensiones.
Para una sucesión corta exacta de espacios vectoriales finitos se cumple dim B=dim A+dim C.
¿Cuál es dim ker p para p:R³→R, p(x,y,z)=z?
Las dos primeras coordenadas son libres.
Sus elementos son (x,y,0) y se escriben x(1,0,0)+y(0,1,0).
Esos dos vectores son independientes, por lo que la dimensión del núcleo es 2.
¿La sucesión anterior sobre Z escinde? Responde sí/no.
Una sección produciría un elemento de orden 2 en Z.
Una sección Z/2Z→Z tendría que enviar [1] a un entero b con 2b=0 por homomorfismo.
El único candidato es b=0, porque Z no tiene torsión no nula.
Su imagen módulo 2 sería [0], contradiciendo que la sección levante [1]. La respuesta es no.
Da un ejemplo de composición cero que no sea exacta.
Usa dos mapas cero con término central no nulo.
Tomamos la sucesión 0→R→0, con los dos mapas nulos y R distinto de cero.
La imagen entrante es {0}, pero el núcleo del mapa R→0 es todo R. No es exacta en el centro.
Prueba que una sucesión corta de espacios vectoriales finitos escinde.
Levanta una base del cociente.
Sea p:B→C sobreyectiva y elijamos una base finita c₁,…,c_r de C.
Para cada c_i tomamos b_i∈B con p(b_i)=c_i y definimos s linealmente por s(c_i)=b_i.
La composición p∘s coincide con la identidad en todos los vectores de base y, por linealidad, en todo C. Esa s es una sección y la sucesión escinde.