Para R² --0→R³ en grados 0 y 1, ¿cuánto vale dim H⁰?
El núcleo del mapa cero es todo el dominio.
En el complejo R²→R³ con mapa cero, todos los elementos de R² se envían a cero.
No hay término de grado −1 que aporte bordes.
Para ese complejo, ¿cuánto vale dim H¹?
La imagen entrante es cero.
La flecha saliente desde R³ va al término cero, así que todos sus elementos son ciclos.
La imagen entrante del mapa cero es {0}.
¿El complejo R --id→R es acíclico? Responde sí/no.
La identidad es un isomorfismo.
La identidad R→R tiene núcleo cero e imagen todo R.
En dos grados consecutivos, H⁰ es ese núcleo y H¹ su conúcleo, también cero.
Los demás grados son cero. El complejo es acíclico y la respuesta es sí.
Da un complejo acíclico no nulo.
La identidad ofrece el ejemplo más corto.
Tomamos C⁰=R, C¹=R y d⁰=id, con los demás términos cero.
Los términos C⁰ y C¹ son no nulos, así que no es el complejo cero.
Sin embargo, la identidad es inyectiva y sobreyectiva y ambas cohomologías son cero. Es un complejo acíclico no nulo.
Explica por qué un complejo acíclico es isomorfo a cero en la categoría derivada.
Considera el mapa hacia el complejo cero.
Sea C acíclico y consideremos el único mapa de complejos C→0.
En cada grado induce un mapa entre grupos de cohomología nulos, que es un isomorfismo.
El mapa es cuasi-isomorfismo y se vuelve invertible al definir D(R). Por ello C es isomorfo a cero en la categoría derivada.