En Cat, ¿qué nivel tiene una transformación natural?
Conecta funtores.
En Cat, los objetos son categorías y los 1-morfismos son funtores.
Una transformación natural compara dos funtores paralelos, es decir, dos 1-morfismos.
Su nivel es 2.
¿Cuántos extremos tiene un 1-morfismo ordinario?
Cuenta dominio y codominio.
Un 1-morfismo f:X→Y tiene un objeto de origen X y uno de destino Y.
Son dos posiciones de extremo aunque en un endomorfismo pueda ocurrir X=Y.
La respuesta es 2.
¿Toda equivalencia de categorías exige igualdad literal de objetos? Responde sí/no.
Una equivalencia permite isomorfismos naturales.
Una equivalencia permite un cuasi-inverso cuyas composiciones son naturalmente isomorfas a las identidades.
Esas comparaciones no obligan a que cada objeto sea literalmente el mismo ni a que las categorías tengan la misma presentación.
Por tanto la respuesta es no.
Explica la diferencia entre isomorfismo y equivalencia de categorías.
Compara igualdades con isomorfismos naturales en las composiciones.
Un isomorfismo F:C→D exige un funtor inverso G con GF=id_C y FG=id_D como igualdades.
Una equivalencia exige en su lugar isomorfismos naturales GF≅id_C y FG≅id_D.
Las comparaciones naturales permiten categorías con objetos redundantes isomorfos, que pueden ser equivalentes sin ser estrictamente isomorfas.
Describe por qué una homotopía entre caminos requiere extremos compatibles.
Los mapas comparados deben ser paralelos.
Como morfismos de un grupoide de caminos, los dos caminos comparados deben compartir origen y destino.
Una homotopía con extremos fijos mantiene esas dos condiciones durante toda la deformación.
Si los extremos se desplazan, no se está comparando la misma pareja de morfismos paralelos; se trata de una noción de homotopía diferente.