¿Cuántos elementos tiene Ext¹_Z(Z/3,Z)?
Es Z/3Z.
Sus clases se representan por 0,1,2.
Por tanto el número de elementos es 3.
¿Cuántos elementos tiene Tor₁_Z(Z/2,Z/6)?
Resuelve 2n=0 mod 6.
Tor₁_Z(Z/2Z,Z/6Z) es el núcleo de multiplicar por 2 en Z/6Z.
2a≡0 módulo 6 equivale a 3 dividir a, de modo que las clases son 0 y 3.
El grupo contiene 2 elementos y es isomorfo a Z/2Z.
¿Cuántos elementos tiene Tor₁_Z(Z/5,Z)?
Z no tiene torsión.
En Z no hay torsión no nula, así que solo a=0 cumple la igualdad.
Es el grupo trivial y su conjunto subyacente tiene 1 elemento.
Justifica que 0→Z --×m→Z→Z/m→0 es exacta para m≥1.
Comprueba cada núcleo e imagen.
Como m≥1, la igualdad ma=0 en Z obliga a a=0; el primer mapa es inyectivo.
La imagen de ×m es exactamente mZ. Eso comprueba exactitud en todos los términos y los módulos Z son libres.
Calcula Tor₁_Z(Z/m,Z/n) en términos de d=mcd(m,n).
Cuenta el núcleo de multiplicar por m en Z/n.
La condición n|ma se convierte en n₁|m₁a y, por coprimalidad, en n₁|a.
El núcleo en Z/nZ está generado por [n₁], cuyo orden es d. Por tanto Tor₁_Z(Z/mZ,Z/nZ)≅Z/dZ.