EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Para A=1,y=4,α=1, calcula x_α.
- PISTA 1
Una pista
Usa y/(1+α).
Un desarrollo posible.
- Tikhonov escalar da xα=Ay/(A²+α).
- Con A=1, y=4, α=1, se obtiene4/2.
- xα=2.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
En la dirección de un valor singular 1/1000, ¿por qué factor amplifica la inversión exacta una perturbación de datos en esa dirección?
- PISTA 1
Una pista
Toma su inverso.
Un desarrollo posible.
La inversión de la dirección divide por su valor singular.
- 1/(1/1000)=1000.
El factor de amplificación es 1000.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Para A=3,y=6,α=3, calcula x_α.
- PISTA 1
Una pista
Usa Ay/(A²+α).
Un desarrollo posible.
- El numerador es Ay=3·6=18.
- El denominador es A²+α=9+3=12.
- xα=18/12=3/2.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva las ecuaciones normales de Tikhonov en dimensión finita.
- PISTA 1
Una pista
Anula el gradiente del funcional cuadrático.
Un desarrollo posible.
El funcional es ‖Ax−y‖²+α‖x‖². Su gradiente real en dimensión finita es 2A*(Ax−y)+2αx.
- Anularlo produce(A*A+αI) x=A*y.
Para cualquier z≠0, z*(A*A+αI) z=‖Az‖²+α‖z‖²>0, que garantiza mínimo único.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué unicidad y estabilidad son requisitos distintos.
- PISTA 1
Una pista
Una inversa puede existir y amplificar mucho.
Un desarrollo posible.
Unicidad significa que el mismo dato exacto no corresponde a dos soluciones admisibles distintas.
Estabilidad pregunta cuánto cambia la solución al perturbar datos. Una diagonal no nula tiene inversa única, pero una entrada pequeña amplifica mucho.
En dimensión finita esto es mal condicionamiento; en problemas infinitos pueden existir inversas realmente no continuas en el rango.