Con μ=9, ¿cuál es el equilibrio estable?
Es la raíz positiva.
El equilibrio estable es3. Se trata de estabilidad local asintótica de una EDO, no del criterio de módulo menor que1 de un mapa.
Con μ=1, ¿cuál es la derivada del campo en el equilibrio inestable?
El equilibrio es −1.
Para μ=1, los equilibrios son±1 y la rama negativa−1 es inestable.
La derivada respecto de x es−2x; el parámetro constante no contribuye a esa derivada.
Evaluar en−1 da−2(−1)=2, que es positivo y concuerda con la repulsión.
¿Cuántos equilibrios reales hay para μ=0?
Resuelve −x²=0.
El único número real cuyo cuadrado es cero es x=0, por lo que hay1 equilibrio.
Su derivada también es cero. El equilibrio es degenerado y la estabilidad se decide por el campo no lineal, no por el criterio hiperbólico.
Explica la semiestabilidad del equilibrio x=0 cuando μ=0.
El campo es −x² a ambos lados.
Para μ=0 el campo es−x², negativo tanto a la izquierda como a la derecha del origen.
Si x₀>0, x(t)=x₀/(1+x₀t) permanece positivo y decrece hacia0: atrae desde la derecha.
Si x₀<0, la misma fórmula decrece alejándose del origen y explota hacia−∞ en el tiempo−1/x₀.
El origen es semiestable, atractivo por un lado y repulsivo por el otro; no es estable bilateralmente.
Distingue bifurcación e inestabilidad.
Una depende de variar un parámetro.
La inestabilidad pregunta, para un parámetro fijo, si perturbaciones arbitrariamente pequeñas pueden alejarse de un equilibrio o de otro objeto invariante.
Una bifurcación pregunta si al cambiar el parámetro cambia cualitativamente la organización de esos objetos o de las órbitas.
En x′=μ−x², la rama−√μ es inestable para todo μ>0, pero la creación o desaparición de la pareja ocurre en μ=0.
Ni una inestabilidad aislada ni esa bifurcación escalar prueban caos: faltan las propiedades de recurrencia y complejidad que exija la definición adoptada.