¿Cuál es la dimensión estable de diag(2,1/2,1/3)?
Cuenta módulos menores que uno.
Los autovalores de la matriz diagonal son2,1/2 y1/3, asociados a las tres direcciones coordenadas.
Son estables las direcciones con módulo estrictamente menor que1: la segunda y la tercera.
Esos dos vectores coordenados son independientes, por lo que dim Eˢ=2. La primera dirección pertenece a Eᵘ.
Para y↦y/2, con y₀=16, calcula y₄.
Divide cuatro veces entre dos.
La sucesión16,8,4,2,1 proporciona una comprobación directa.
¿Un punto fijo con autovalor 1 es hiperbólico? Responde sí/no.
El módulo es uno.
La hiperbólicidad de un punto fijo de un difeomorfismo exige que ningún autovalor de su derivada tenga módulo1.
El autovalor1 tiene exactamente módulo1, así que incumple la condición.
La respuesta es no. Esto no decide por sí solo si el punto atrae, repele o presenta otro comportamiento; los términos no lineales pueden ser decisivos.
Prueba invariancia del eje estable en el modelo diagonal.
Aplica A a (0,y).
Toma un punto arbitrario(0,y) del eje vertical y aplica la matriz: A(0,y)=(0,y/2).
La primera coordenada sigue siendo cero, de modo que A envía el eje dentro de sí mismo.
Además, para cualquier(0,z) del eje, A(0,2z)=(0,z); por ello la imagen del eje global es todo el eje.
Distingue subespacio estable lineal y variedad estable no lineal.
La derivada solo da el tangente.
El subespacio estable Eˢₚ se construye a partir de la aplicación lineal Df(p) en TₚM y sus espacios propios generalizados.
La variedad estable Wˢ(p) está formada por puntos del sistema no lineal que convergen a p. Sus iteraciones están gobernadas por f, no solo por Df(p).
No identifica la variedad con el subespacio en todo un entorno.
En F(x,y)=(2x−7y²/4,y/2), Eˢ es vertical y Wˢ es x=y²: la curvatura aparece sin cambiar la tangencia en el origen.