Para T(x)=e²x, calcula el exponente.
log(e²)=2.
El factor de un paso es a=e², que es positivo y distinto de cero.
Su logaritmo es2n y, al dividir por n, la tasa vale2 para todo n. El exponente es2 por iteración.
Para T(x)=x, calcula el exponente.
La derivada iterada es uno.
La identidad tiene derivada1 y todas sus iteraciones siguen teniendo derivada1.
La razón de normas de cualquier perturbación no nula es1; log1=0.
La tasa y su límite son0. El resultado expresa ausencia de crecimiento exponencial en este mapa, no una regla universal sobre todos los sistemas con exponente cero.
Para T(x)=e^(−3)x, calcula el exponente.
Toma el logaritmo del factor.
El factor de un paso es e^{−3}. La derivada iterada es e^{−3n}.
La razón de normas coincide con ese factor positivo y su logaritmo vale−3n.
Dividir por n da−3. El exponente negativo expresa contracción exponencial por iteración.
Deriva la fórmula como promedio en dimensión uno.
Usa la regla de la cadena.
Si todos los factores son no nulos, el módulo del producto es el producto de sus módulos y log|(Tⁿ)′(x)|=Σⱼ₌₀ⁿ⁻¹log|T′(Tʲx)|.
Dividir por n produce el promedio temporal. El exponente es su límite si existe; Birkhoff lo identifica casi seguramente con la integral bajo invariancia, ergodicidad e integrabilidad.
Si aparece un factor cero, hay que tratar log0=−∞ y revisar las hipótesis de la versión del teorema que se usa.
Explica por qué un autovalor negativo usa log|a|.
La norma no conserva el signo.
En una dirección propia con autovalor real a<0, la derivada iterada multiplica por aⁿ.
La orientación y el crecimiento de magnitud son propiedades distintas.