Un grafo tiene 4 componentes. ¿Qué multiplicidad tiene el cero en L?
Una por componente.
El núcleo contiene un valor constante libre por cada componente.
Con 4 componentes su dimensión es 4.
La multiplicidad del autovalor cero es 4.
Un grafo tiene 7 aristas. Calcula tr L.
Es 2m.
tr(L) es la suma de grados.
Con 7 aristas, esa suma es 2·7.
La traza vale 14.
Para una única arista y x=(1,4), calcula xᵀLx.
Es la diferencia al cuadrado.
La energía de una sola arista es la diferencia de valores al cuadrado.
El resultado es 9.
Prueba que L es semidefinido positivo.
Usa la suma de cuadrados.
La identidad de energía expresa xᵀLx como suma de(xᵢ−xⱼ)² sobre aristas.
Cada sumando es no negativo para todo vector real x.
La suma también, que es exactamente semidefinición positiva.
Justifica la relación núcleo-componentes.
Energía cero impone igualdad a lo largo de aristas.
Si Lx=0, la energía es cero y cada arista obliga a igualar los valores de sus extremos.
Por caminos, x es constante en cada componente.
Recíprocamente esos vectores anulan L; una constante independiente por componente da la dimensión del núcleo.