Calcula div(x,−y) en R².
Deriva cada componente en su coordenada.
Las derivadas son1 y−1, respectivamente, por lo que su suma es0.
El campo conserva volumen localmente aunque estire una dirección y comprima la otra. No es periódico ni de energía finita en todo R².
Con ν=1/2 y ||∇u||₂²=4, calcula E′.
Usa E′=−2ν||∇u||₂².
En esta práctica E=||u||₂², por lo que la identidad sin fuerza da E′=−2ν||∇u||₂².
El producto vale−4. La energía cinética E/2 tiene derivada−2; distinguir ambas evita perder el factor dos.
Para un campo espacialmente constante, ¿cuánto vale ||∇u||₂²?
Sus derivadas espaciales son cero.
La función |∇u|² es idénticamente cero y, por tanto, su integral ||∇u||₂² vale0.
El resultado indica disipación viscosa nula de ese perfil. En un toro tiene energía finita; un campo constante no nulo en todo Rⁿ no pertenece a L².
Justifica que ∫u·∇p=0 en un toro si div u=0.
Integra por partes sin frontera.
La integral de una divergencia periódica en el toro es cero: las caras opuestas de una celda fundamental se cancelan.
Se requiere regularidad suficiente para estas operaciones o una justificación por aproximación.
Explica por qué una estimación de energía L² no basta por sí sola para regularidad suave global en 3D.
El balance no controla todas las derivadas.
El balance acota supₜ||u(t)||₂² y ∫||∇u||₂²dt, siempre que la fuerza y los bordes permitan dicho balance.
Una cota integral en tiempo de una norma L² no es una cota uniforme de gradientes en L∞ ni de todas las derivadas superiores.
En3D la ecuación de vorticidad contiene ∫ω·(ω·∇)u, que no tiene signo favorable. Para continuar una solución suave hacen falta controles adicionales, como un criterio de regularidad; la energía sola no los demuestra.