EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Para u=x(1−x), calcula −u″.
- PISTA 1
Una pista
Deriva dos veces.
Un desarrollo posible.
- Desarrollamos u=x−x² y derivamos: u′=1−2x.
- La segunda derivada es u″=−2.
- Al aplicar el signo del operador, −u″=2.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para la misma u, calcula u(1/2).
- PISTA 1
Una pista
Sustituye x.
Un desarrollo posible.
- Sustituimos x=1/2 en u=x(1−x).
- El segundo factor vale 1−1/2=1/2.
- El producto es (1/2)(1/2)=1/4.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Si ∫|w′|²=0, ¿cuál es ||w′||₂?
- PISTA 1
Una pista
La norma es la raíz de la integral.
Un desarrollo posible.
- Por definición ||w′||²₂=∫|w′|².
El dato afirma que ese cuadrado es cero.
- La norma es la raíz no negativa, así que ||w′||₂=0.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva la formulación débil de −u″=f con Dirichlet cero.
- PISTA 1
Una pista
Multiplica por v e integra por partes.
Un desarrollo posible.
Para una u suave, multiplicamos −u″=f por una prueba v con valores cero en los extremos e integramos.
Integración por partes da −∫u″v=∫u′v′−[u′v]₀¹; el borde es cero por la traza de v.
- Queda ∫u′v′=∫fv.
La continuidad de ambos lados y la densidad de pruebas suaves extienden la identidad a H¹₀ y permiten definir soluciones sin segunda derivada clásica.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica qué hipótesis se necesitan para aplicar Lax–Milgram.
- PISTA 1
Una pista
Enumera espacio, forma y funcional.
Un desarrollo posible.
Se necesita un espacio de Hilbert V y una forma bilineal a:V×V→R.
Continuidad significa |a(u,v)|≤M||u||V||v||V; coercividad exige a(v,v)≥α||v||²V con α>0 uniforme.
El lado derecho debe ser un funcional F lineal continuo sobre V.
Entonces existe una única u∈V con a(u,v)=F(v) para todo v y ||u||V≤||F||V′/α; la simetría solo hace falta para la interpretación de mínimo cuadrático.