Calcula h⁰(P¹,O(4)).
Cuenta monomios homogéneos de grado 4.
Para d=4, las secciones son polinomios homogéneos de grado cuatro.
Una base es X⁴,X³Y,X²Y²,XY³,Y⁴, porque todo término tiene suma de exponentes cuatro.
Calcula h¹(P¹,O(−1)).
Usa max(−d−1,0).
Para d=−1, en el cociente de Laurent se eliminan exponentes ≥0 y exponentes ≤−1.
No queda ningún exponente entero entre −1 y 0.
Calcula h¹(P¹,O(−4)).
Sustituye d=−4.
Con d=−4, los exponentes que sobreviven cumplen −4<j<0.
Son −3,−2 y −1, que dan tres clases independientes.
Explica por qué O(−1) no es el haz cero aunque H⁰ sea cero.
Distingue secciones globales y tallos.
Ser un haz de línea significa que O(−1) es localmente isomorfo a O y tiene tallos libres de rango uno.
La igualdad H⁰=0 solo afirma que no hay secciones globales no nulas compatibles con sus transiciones.
No anula los tallos ni las secciones locales, así que O(−1) no es el haz cero.
Demuestra h⁰(P¹,O(d))=d+1 para d≥0 contando una base.
Escribe X^(d−j)Y^j.
Para cada j entre 0 y d, el monomio X^(d−j)Y^j tiene grado d.
Todo polinomio homogéneo de grado d es combinación de esos monomios; la unicidad de sus coeficientes demuestra independencia.
Hay d+1 valores enteros de j, por lo que h⁰(P¹,O(d))=d+1 para d≥0.