¿Cuántos puntos tiene Spec F₇?
Un cuerpo tiene un solo primo.
Un cuerpo tiene únicamente el ideal primo propio (0).
F₇ es un cuerpo, con independencia de que tenga siete elementos.
Su espectro tiene 1 punto.
¿Cuántos primos tiene Z/6Z?
Corresponden a los primos de Z que contienen (6).
Los primos del cociente Z/6Z corresponden a los primos de Z que contienen (6).
Un primo entero que contiene 6 debe ser (2) o (3); el primo (0) no contiene 6.
Sus imágenes dan dos primos distintos del cociente. La respuesta es 2.
¿Todo nilpotente pertenece a todo ideal primo? Responde sí/no.
Aplica primalidad repetidamente a una potencia cero.
Sea a nilpotente: existe n≥1 con aⁿ=0, y sea p cualquier ideal primo.
La primalidad aplicada repetidamente obliga a que a esté en p.
Por tanto sí: todo nilpotente pertenece a todo primo.
Describe las funciones en D(x)⊂Spec k[x].
Se permite invertir x.
Se permiten denominadores xⁿ; cada fracción se escribe como suma finita de potencias enteras, positivas o negativas, de x.
El anillo es k[x,x⁻¹]. No se invierten automáticamente polinomios como x−1, cuyo cero sigue presente dentro de D(x).
Prueba V(I)∩V(J)=V(I+J).
Traduce pertenencia en inclusiones de ideales.
Un punto p pertenece a V(I)∩V(J) si y solo si contiene I y contiene J.
Un ideal contiene ambos exactamente cuando contiene todas las sumas de un elemento de I y uno de J, es decir, contiene I+J.
Esa condición equivale a p∈V(I+J), lo que prueba la igualdad de cerrados.