Con el mapa (x,u)↦(x,xu), ¿cuál es y si x=2,u=3?
Multiplica x por u.
En la transformada x=u², ¿cuánto vale x para u=−2?
Eleva al cuadrado.
El valor es 4.
¿Un isomorfismo global implica equivalencia birracional de variedades integrales? Responde sí/no.
Puede restringirse a abiertos densos.
Un isomorfismo global entre variedades integrales ya da morfismos inversos en todas partes.
Las propias variedades son abiertos densos de sí mismas.
Por la definición mediante abiertos densos, son birracionales. La respuesta es sí.
Explica por qué t↦(t²,t³) parametriza y²=x³.
Sustituye coordenadas y estudia t=y/x cuando x≠0.
La sustitución x=t²,y=t³ cumple y²=t⁶=x³, así que define un mapa hacia la cúspide.
En el abierto x≠0, t=y/x recupera el parámetro y las dos composiciones son identidades.
Esto prueba birracionalidad. La inversa no se extiende como la misma función regular en el origen; en anillos, t no pertenece a k[t²,t³], lo que distingue el modelo global.
Describe qué se reemplaza al explotar el origen del plano.
Los puntos nuevos representan direcciones.
La explosión reemplaza el origen por la recta proyectiva de direcciones [a:b].
Fuera del origen, la dirección queda forzada a [x:y], por lo que el mapa es un isomorfismo allí.
En la carta y=xu, el excepcional x=0 conserva u como pendiente finita. La otra carta aporta la dirección vertical.