En el plano cartesiano, si V(0)=(3,4), ¿cuál es su norma durante transporte paralelo?
La conexión conserva la métrica.
Su norma al cuadrado permanece 25 y su norma, que es no negativa, permanece 5.
Para r=2, calcula Γᶿ_(rθ) en polares.
Es 1/r.
En la métrica polar la fórmula de Levi–Civita da Γθrθ=(1/2)gθθ∂ᵣgθθ, distinguiendo en el primer factor los índices superiores.
Como gθθ superior es r⁻² y ∂ᵣgθθ inferior es 2r, el producto es 1/r.
Para r=5, calcula Γʳ_(θθ).
Es −r.
Se trata de un coeficiente de conexión, no del valor de la curvatura.
Explica por qué un vector paralelo conserva su norma con Levi–Civita.
Deriva g(V,V).
La derivada de la norma al cuadrado es cero en el intervalo, luego es constante; tomar su raíz no negativa prueba conservación de la norma.
Distingue una derivada ordinaria de componentes y una covariante en polares.
La base también cambia.
La derivada ordinaria de Vʳ,Vθ solo registra cómo cambian los números que expresan el vector en la base ∂ᵣ,∂θ.
La base también depende de r y θ; al derivarla aparecen los términos Γᵏᵢⱼγ̇ⁱVʲ que completan la derivada covariante.
Por ejemplo, un vector cartesiano fijo tiene componentes Vʳ=a cosθ+b sinθ y Vθ=(−a sinθ+b cosθ)/r variables, pero su derivada covariante es cero. Esa cancelación distingue variación de componentes y variación geométrica.