Si dim C=5, dim ker ∂=4 y dim im ∂=1 con ∂²=0, halla dim H.
Resta dimensión de fronteras.
La condición ∂²=0 garantiza que im∂ es subespacio de ker∂ y el cociente está definido.
Para espacios finitos, dim(ker∂/im∂)=dim ker∂−dim im∂.
Además rango-nulidad concuerda con dim C=4+1=5.
En F₂, ¿cuánto vale 1+1?
Trabaja módulo 2.
F₂ se obtiene identificando enteros que difieren en un múltiplo de dos.
Por tanto el resultado es 0. Esta es la cancelación que se usa al contar un número par de extremos.
Si ∂ es cero en un espacio de dimensión 4 sin fronteras entrantes, ¿qué dimensión tiene la homología?
Todos son ciclos.
La diferencial saliente es cero, así que su núcleo es todo el espacio de dimensión cuatro.
No hay fronteras entrantes: la imagen del grado anterior pertinente es el subespacio cero.
La homología es C/0≅C y tiene dimensión 4.
Explica por qué d²=0 es necesaria para formar ker d/im d.
El denominador debe ser subespacio del numerador.
Para formar un cociente ker d/im d es necesario que im d esté contenido en ker d.
Si d²=0, esa expresión se anula para todo x y toda frontera es ciclo. Sin esa condición, el denominador no sería en general un subespacio del numerador.
Distingue el complejo algebraico de la construcción geométrica de Floer.
Una matriz correcta no prueba la existencia de los conteos.
Un complejo algebraico especifica espacios y aplicaciones lineales; una vez verificado d²=0 se calcula mediante núcleos e imágenes.
Floer debe producir esas aplicaciones contando soluciones de una EDP con límites prescritos; requiere transversalidad, energía, compacidad y, según coeficientes, orientaciones.
Además debe identificar la frontera de los espacios de dimensión uno y construir continuaciones. Una matriz que cumple d²=0 no demuestra por sí sola que proceda de esa geometría ni que sus conteos existan.