Para H=p²/2+2q², calcula q̇ en p=3.
Deriva respecto de p.
Para ese H, calcula ṗ en q=2.
Usa −∂H/∂q.
La componente de momento satisface ṗ=−∂H/∂q con la convención fijada.
La derivada de p²/2 respecto de q es cero y la de 2q² es 4q.
¿Cuál es la menor dimensión positiva posible de una variedad simpléctica?
La dimensión debe ser par.
La matriz de una forma alternada no degenerada real solo puede ser invertible en dimensión par.
La menor dimensión par estrictamente positiva es 2.
Esa dimensión se realiza en R² con ω=dq∧dp, cerrada y no degenerada; por eso la respuesta no es solo una condición necesaria.
Prueba la conservación de H para un sistema hamiltoniano autónomo canónico.
Aplica la regla de la cadena.
Para H(q,p) sin dependencia temporal explícita, la regla de la cadena da dH/dt=∑ᵢ(H_{qᵢ}q̇ᵢ+H_{pᵢ}ṗᵢ).
Cada par aporta H_{qᵢ}H_{pᵢ}−H_{pᵢ}H_{qᵢ}=0 porque son números reales. La suma es cero y H se mantiene constante mientras exista la solución.
Explica por qué una forma alternada no degenerada no existe en dimensión impar sobre R.
Usa el determinante de una matriz antisimétrica.
Una forma alternada sobre un espacio real de dimensión m tiene matriz A con Aᵀ=−A.
El determinante no cambia al trasponer, mientras det(−A)=(−1)ᵐdet A.
Entonces v↦i_vω tiene núcleo no nulo y la forma es degenerada, contradiciendo la condición simpléctica.