EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Si [H,E]=cE con la base habitual de sl₂, ¿cuánto vale c?
- PISTA 1
Una pista
Multiplica HE y EH.
Un desarrollo posible.
La definición da [H,E]=HE−EH.
Con las matrices habituales, HE=E y EH=−E.
Por tanto [H,E]=2E y c=2.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
¿Cuál es dim sl₂(R)?
- PISTA 1
Una pista
Una matriz 2×2 tiene cuatro entradas y una condición de traza.
Un desarrollo posible.
Una matriz 2×2 real tiene cuatro entradas libres antes de imponer condiciones.
La traza cero obliga a que la segunda entrada diagonal sea la opuesta de la primera.
Quedan tres parámetros, o la base H,E,F. La dimensión es 3.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es la traza de un conmutador de matrices?
- PISTA 1
Una pista
Usa tr(AB)=tr(BA).
Un desarrollo posible.
Para matrices cuadradas se cumple tr(AB)=tr(BA).
La traza es lineal, así que tr([A,B])=tr(AB)−tr(BA).
Ambos términos coinciden y la traza del conmutador es 0.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba [A,A]=0 para el corchete de matrices.
- PISTA 1
Una pista
Aplica la definición.
Un desarrollo posible.
El corchete matricial está definido por [A,B]=AB−BA.
Tomando B=A, los dos productos son el mismo AA.
La diferencia es cero y [A,A]=0.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué el espacio generado por E no es un ideal de sl₂.
- PISTA 1
Una pista
Calcula [F,E].
Un desarrollo posible.
Sea W la recta generada por E.
Si fuera ideal, [X,E] estaría en W para todo X∈sl₂.
Tomando X=F se obtiene [F,E]=−[E,F]=−H.
H no es múltiplo de E, porque tiene entradas diagonales no nulas. W no es ideal, aunque sí es una subálgebra abeliana.