¿Cuál es dim GL₃?
Cuenta entradas.
GL₃ es el abierto de matrices invertibles en el espacio afín de matrices 3×3.
El ambiente tiene 3²=9 coordenadas y el abierto contiene la identidad.
Su dimensión es 9.
¿Cuál es dim Gₘ?
Es un abierto de la recta.
Gₘ es el abierto no vacío D(t) de la recta afín A¹.
La recta tiene dimensión uno y eliminar el origen no cambia la dimensión del abierto.
¿Cuál es el elemento neutro de Gₐ en coordenada escalar?
La ley es suma.
La ley de Gₐ es la suma.
Ese elemento es 0.
Comprueba que la multiplicación de matrices es polinómica en las entradas.
Escribe la entrada (i,j) del producto.
Cada sumando es un producto de coordenadas y la suma tiene finitos términos.
Por tanto todas las coordenadas del producto son polinomios y la multiplicación es un morfismo regular.
Explica por qué Gₐ y Gₘ no tienen la misma ley aunque ambos tengan dimensión uno.
Compara neutro e inversión.
En Gₐ se usa suma, con identidad 0 e inversa −x.
En Gₘ se usa multiplicación de unidades, con identidad 1 e inversa 1/x.
Estas operaciones y anillos de coordenadas son distintos aunque ambos tengan dimensión uno; la dimensión no determina una ley de grupo.