¿Cuál es dim V₇ para sl₂(C)?
Usa n+1.
La notación V₇ indica la irreducible finita de peso máximo n=7.
La cadena tiene pesos 7,5,3,1,−1,−3,−5,−7, cada uno de multiplicidad uno.
Hay 8 vectores de base, de acuerdo con dim V₇=7+1=8.
¿Cuál es el menor peso de V₅?
La cadena termina en −n.
Los pesos de V_n bajan de dos en dos desde n hasta −n.
El menor peso es −5.
¿Cuántas veces aparece el peso 0 en V₆?
Todos los pesos tienen multiplicidad uno.
La cadena de V₆ es 6,4,2,0,−2,−4,−6.
En una irreducible de sl₂, cada peso de esa lista tiene multiplicidad uno.
El peso 0 aparece 1 vez.
Prueba que F baja el peso en 2.
Usa [H,F]=−2F.
Cuando Fv≠0 es un vector de peso λ−2; si se anula, la cadena se detiene en esa dirección.
Explica por qué V₁ no tiene un vector no nulo de peso 0.
Escribe sus pesos.
V₁ tiene los pesos 1 y −1, ambos de multiplicidad uno.
Estos dos espacios ya suman toda su dimensión, que es 2.
No hay autoespacio de peso cero distinto del nulo; por tanto no contiene un vector no nulo de peso 0.