Si |G|=24, |H|=6 y dim V=3, calcula dim Ind V.
Primero calcula el índice.
Por Lagrange, [G:H]=|G|/|H|=24/6=4; cada clase lateral tiene seis elementos.
El inducido es, como espacio, suma de cuatro copias del espacio V de dimensión 3.
Por tanto dim Ind V=4·3=12, sin necesidad de conocer las matrices de H.
¿Qué dimensión tiene Ind_G^G V si dim V=5?
El índice vale uno.
El subgrupo coincide con el grupo, de modo que solo hay una clase lateral y [G:G]=1.
La fórmula de dimensión da 1·dim V.
Como dim V=5, la dimensión inducida es 5; de hecho el módulo inducido es isomorfo a V.
Inducir desde {e} a C₇ una dimensión uno da ¿qué dimensión?
Es la representación regular.
El subgrupo trivial tiene un elemento, mientras C₇ tiene siete; el índice es 7.
Ind_{1}^{C₇}k se identifica con k[C₇], con una base por elemento del grupo.
Hay siete vectores de base y la dimensión es 7, cualquiera que sea la característica de k.
Explica por qué Ind_G^G V es isomorfa a V.
Usa el mapa g⊗v↦gv.
La relación gh⊗v=g⊗hv tiene imágenes (gh)v y g(hv), iguales por la ley de representación; además F(a·(g⊗v))=aF(g⊗v).
Entonces FJ(v)=v y JF(g⊗v)=1⊗gv=g⊗v por la relación del tensor; F es el isomorfismo buscado.
Da un motivo por el que contar dimensión no prueba irreducibilidad.
Un espacio puede descomponerse en subespacios invariantes.
La dimensión describe el tamaño de una base, sin especificar qué subespacios deja estables la acción.
Por ejemplo, para G no trivial, la regular k[G] tiene la recta invariante generada por ∑_{g∈G}g, porque multiplicar a la izquierda permuta los sumandos.
Esa recta es no nula y propia cuando |G|>1; el módulo es reducible aunque su dimensión se haya calculado exactamente.