EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
¿Cuál es |i|²?
- PISTA 1
Una pista
Multiplica i por su conjugado.
Un desarrollo posible.
Por definición, |z|²=z·conjugado(z) para un número complejo z.
El conjugado de i es −i; entonces i(−i)=−i².
Como i²=−1, resulta |i|²=1.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
En un promedio sobre un grupo de 8 elementos, ¿cuál es el denominador?
- PISTA 1
Una pista
Se normaliza por la cardinalidad.
Un desarrollo posible.
El promedio finito asigna el mismo peso a los ocho elementos del grupo.
Para que la suma de esos pesos sea uno, cada término tiene coeficiente 1/8.
Por ello el denominador es |G|=8, independientemente de la dimensión de la representación.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es la norma de Uv si U es unitaria y ||v||=3?
- PISTA 1
Una pista
Conserva productos internos.
Un desarrollo posible.
La condición unitaria da ⟨Uv,Uv⟩=⟨v,v⟩.
Si ||v||=3, ambas normas al cuadrado valen 9.
La norma es no negativa; por tanto ||Uv||=√9=3.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que un autovalor de una matriz unitaria tiene módulo uno.
- PISTA 1
Una pista
Aplica conservación de norma a un autovector.
Un desarrollo posible.
Sea v≠0 un autovector: Uv=λv.
La unitariedad implica ||Uv||=||v||, mientras la homogeneidad de la norma da ||λv||=|λ|·||v||.
Como ||v||>0, dividir la igualdad |λ|·||v||=||v|| produce |λ|=1.
No se puede cancelar si v=0, por eso se exige autovector no nulo.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Prueba la invariancia del promedio finito.
- PISTA 1
Una pista
Reindexa g↦gh.
Un desarrollo posible.
Escribe B(v,w)=|G|⁻¹∑_{g∈G}⟨ρ(g)v,ρ(g)w⟩.
Al evaluar en ρ(h)v,ρ(h)w y usar ρ(g)ρ(h)=ρ(gh), aparecen los términos indexados por gh.
La multiplicación derecha g↦gh es una biyección de G, con inversa a↦ah⁻¹; la suma y su denominador no cambian, y B es invariante.