¿Cuántas extensiones de {(0,1)} a dominio {0,1} hay?
El nuevo bit puede ser 0 o 1.
La condición inicial obliga a conservar el valor 1 en la coordenada 0.
Para que el dominio sea exactamente {0,1} solo falta elegir el bit de la coordenada 1.
Las posibilidades son {(0,1),(1,0)} y {(0,1),(1,1)}; hay 2.
¿Son compatibles {(2,0)} y {(2,1)}? Responde sí/no.
Compara la coordenada común.
Ambas funciones tienen la coordenada 2 en el dominio.
La primera exige valor 0 y la segunda valor 1 en esa misma entrada.
Una extensión común no podría ser función. Son incompatibles; la respuesta es no.
Una condición decide 4 coordenadas. ¿Cuántas asignaciones binarias hay a otras 3 coordenadas especificadas?
Cada bit nuevo es independiente.
Las cuatro coordenadas previas ya están fijadas y no ofrecen elecciones nuevas.
Las otras tres coordenadas especificadas son distintas y no estaban decididas; cada una admite los bits 0 y 1.
Por el principio del producto hay 2·2·2=8 asignaciones que conservan las decisiones anteriores.
Prueba que la unión de condiciones dos a dos compatibles es una función.
Comprueba que una coordenada no recibe dos valores.
Sea U la unión de una familia de condiciones dos a dos compatibles. Para probar que es función, tomamos (n,a) y (n,b) en U.
Esos pares provienen de dos condiciones de la familia, que por hipótesis admiten una extensión común.
Así U no asigna dos valores distintos; puede tener dominio infinito, por lo que no necesariamente es una condición.
Explica por qué no basta mostrar que una afirmación es difícil para demostrar independencia.
Se necesitan modelos o argumentos de no demostrabilidad.
La dificultad describe los intentos conocidos y no excluye que exista una demostración aún no encontrada.
La independencia de φ respecto a T exige que T no demuestre φ ni su negación.
Para justificarla con modelos se construyen modelos de ambos lados preservando T, o se prueban los correspondientes resultados de consistencia relativa; el fracaso de una búsqueda no basta.