¿Cuántas variables libres tiene ∃y(x<y)?
El cuantificador solo liga y.
Ningún cuantificador liga la aparición de x; x es la única variable libre.
Se cuentan variables libres distintas, no símbolos totales: la respuesta es 1.
En (Q,<), ¿∃y(x<y) es verdadera para todo x? Responde sí/no.
Prueba y=x+1.
Fijamos un racional x cualquiera, pues hay que justificar la afirmación para todos.
La suma sirve para construir el testigo desde fuera del lenguaje.
Como esta construcción funciona para cualquier x, la respuesta es sí.
¿Cuántas soluciones tiene x·x=1 en Q?
Factoriza x²−1.
Se factoriza como (x−1)(x+1)=0; en un cuerpo un producto nulo tiene algún factor nulo.
Son distintos y ambos verifican el original: hay 2 soluciones.
Justifica que {a} es definible si se permite a como parámetro.
Construye una igualdad.
El elemento a satisface la igualdad por reflexividad.
Cualquier solución x debe coincidir con a; así el conjunto de soluciones es exactamente {a}.
Explica por qué un conjunto definible sin parámetros debe ser invariante por automorfismos.
Un automorfismo conserva símbolos, operaciones y verdad de fórmulas.
Sea σ un automorfismo y D el conjunto definido por una fórmula φ sin parámetros.
La inducción sobre fórmulas conserva verdad: los átomos por definición de automorfismo, los conectivos por sus reglas y los cuantificadores transportando testigos mediante σ y su inversa.