EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Minimiza |x|+(x−4)²/2. Da el minimizador.
- PISTA 1
Una pista
El dato supera el umbral uno.
Un desarrollo posible.
Para a=4 yλ=1, en x>0 la condición es1+x−4=0.
Da x=3>0, consistente con la región.
La función es estrictamente convexa y0 pertenece a su subdiferencial en3, así el minimizador único es3.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Minimiza |x|+(x−1/2)²/2. Da el minimizador.
- PISTA 1
Una pista
El dato queda dentro de [−1,1].
Un desarrollo posible.
En x=0, la condición es0∈[−1,1]−1/2.
Equivale a1/2∈[−1,1], que se cumple.
Por convexidad es un mínimo global y por el cuadrático es único: x=0.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es el extremo superior de ∂|·|(0)?
- PISTA 1
Una pista
Las pendientes permitidas van de −1 a 1.
Un desarrollo posible.
En cero, la desigualdad de subgradiente para|·| es|y|≥gy para todo y.
Tomando y>0 obtenemos g≤1 y tomando y<0 obtenemos g≥−1.
Todo g del intervalo cumple la desigualdad, así el extremo superior es1.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que 0∈∂f(x) implica mínimo global.
- PISTA 1
Una pista
Sustituye g=0 en la definición.
Un desarrollo posible.
Si0∈∂f(x), la definición dice f(y)≥f(x)+⟨0,y−x⟩ para todo y.
El producto con el vector cero se anula.
Así f(y)≥f(x) para todo y y x es mínimo global.
Recíprocamente, esa desigualdad de mínimo es exactamente la condición de subgradiente cero.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Calcula ∂|·|(0) completo.
- PISTA 1
Una pista
Usa y>0 y y<0 para acotar g.
Un desarrollo posible.
Para y>0,|y|≥gy se reduce a y≥gy y exige g≤1.
Para y<0,−y≥gy exige g≥−1 al dividir cambiando el sentido de la desigualdad.
Si−1≤g≤1, para y≥0 vale gy≤y y para y<0 vale gy≤−y.
En y=0 hay igualdad, por lo que∂|·|(0)=[−1,1].