Con μ=1,σ=2, calcula μ−σ²/2.
Resta la corrección.
En el modelo geométrico de Itô, la deriva de log X esμ−σ²/2.
La deriva relativa de X sigue siendoμ=1, una magnitud distinta.
Para OU con θ=3,σ=6, calcula la varianza límite.
Usa σ²/(2θ).
El resultado es6. El proceso mantiene fluctuaciones en equilibrio, en lugar de converger a una constante.
Si σ=0 en el browniano geométrico, ¿qué coeficiente estocástico queda?
Desaparece el ruido.
El coeficiente estocástico restante es0 y la ecuación queda dX=μXdt.
Con dato determinista, la solución es la EDO Xₜ=X₀e^{μt}; no aparece corrección cuadrática porqueσ²=0.
Verifica la exponencial geométrica usando Itô.
Deriva exp(at+σB_t).
Las derivadas dan f_t=aX,f_b=σX y f_bb=σ²X; por tanto dX=(a+σ²/2)Xdt+σXdB.
La fórmula es global y satisface el dato inicial; los coeficientes lineales son globalmente Lipschitz, de modo que la unicidad identifica esta solución.
Explica por qué la solución geométrica permanece positiva si X₀>0.
La exponencial real siempre es positiva.
En todo tiempo finito, Bₜ es real y continuo casi seguramente, de modo que el exponente es finito.
La exponencial de cualquier real es estrictamente positiva; multiplicar por X₀>0 conserva el signo.
Así Xₜ>0 en todos los tiempos finitos de cada trayectoria del conjunto de continuidad. Esto no impide que Xₜ tienda a0 cuando t→∞ para ciertos parámetros.