Para λ=3,σ=6, calcula la varianza límite de un modo.
Usa σ²/(2λ).
Para un modo OU amortiguado conλ>0, la varianza límite esσ²/(2λ).
La varianza límite vale6. Esta afirmación de un modo no decide por sí sola si la suma de todos los modos tiene energía finita.
Tres modos ortonormales de medias cero tienen varianzas 1,2,4. Calcula la energía media.
Suma las varianzas.
Al tomar esperanza y usar medias cero, los segundos momentos son las varianzas1,2 y4.
Los productos cruzados desaparecen por la ortogonalidad espacial.
Si σ=0 y a₀=0, ¿cuál es a_t?
La ecuación homogénea mantiene el cero.
Como a₀=0, aₜ=0 para todos los tiempos; no hay ruido que lo excite.
Explica qué suma controla la energía L² de una serie de modos ortonormales centrados.
Usa Parseval y esperanza.
Para las sumas parciales ortonormales, E||uN||₂²=Σₖ≤NE|aₖ|² por Parseval finito y linealidad de la esperanza.
Las diferencias de dos truncaciones tienen segundo momento igual a la suma de la cola correspondiente.
La condición ΣₖE|aₖ|²<∞ hace que las truncaciones sean de Cauchy en L² de probabilidad con valores en L² espacial y define el campo en ese espacio.
Si los modos están centrados, la suma esΣVar aₖ. Sin centrado deben incluirse también las medias al cuadrado.
Distingue resolver toda truncación finita de resolver la EDP infinita.
Faltan estimaciones uniformes y paso al límite.
Cada truncación contiene un número finito de coordenadas y puede resolverse como sistema de EDE con sus propias condiciones.
Al aumentar el número de modos, las constantes o la suma de varianzas pueden divergir. La existencia de cada sistema finito no proporciona por sí sola una cota uniforme.
Hay que fijar un espacio de campos y demostrar convergencia o compacidad con control de las colas; después se identifica la ecuación del límite.
En el calor lineal con ruido blanco, el criterioΣ1/λₖ ya distingue1D de dimensiones superiores para energía L². En una ecuación no lineal también hay que justificar los productos y su posible renormalización.