Una moneda paga +2 o −2 con igual probabilidad. ¿Cuál es la media del incremento?
Promedia ambos pagos.
La variable incremento X toma+2 y−2 con probabilidades1/2.
Si sucesivos incrementos tienen además media condicionada cero respecto del pasado, su suma define una martingala. La media marginal cero de una moneda sola no especifica toda una dependencia temporal.
Si M₀=−4 y τ≤7, calcula E[M_τ].
Usa parada opcional acotada.
La hipótesis comprende que τ es tiempo de parada y que M es una martingala para la misma filtración.
Como τ≤7, la versión acotada de parada opcional permite E Mτ=E M₀.
No es necesario que todos los resultados detenidos coincidan con−4.
Para S₀=0, calcula E[S₅] en la caminata justa.
La media se conserva en tiempo determinista.
También se obtiene por la propiedad martingala en el tiempo determinista5, que es una parada acotada.
Explica por qué “la última vez que el proceso será cero” no es en general un tiempo de parada.
Decidir que es la última exige mirar el futuro.
Ser cero en el instante actual se puede observar, pero saber que no habrá ninguna visita posterior suele requerir información futura.
En una caminata simétrica hasta el horizonte2, define τ como su última visita a0.
Al tiempo1 ese suceso no está determinado: la siguiente moneda puede devolver la caminata a0 o alejarla. No pertenece a la filtración natural ℱ₁.
El ejemplo demuestra por qué una última visita no es en general tiempo de parada; pueden existir procesos especiales donde sí lo sea.
Prueba que τ∧N está acotado y sigue siendo tiempo de parada.
Escribe el evento {τ∧N≤n}.
Así τ∧N es tiempo de parada para todo N.
Además está acotado por N, lo que permite aplicar parada opcional acotada antes de estudiar cualquier límite N→∞.