EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Calcula v₂(40).
Un desarrollo posible.
Fijamos el primo 2 y extraemos sus factores de 40.
40=2·20=2²·10=2³·5; el factor final 5 es impar.
El exponente máximo es 3, así que v₂(40)=3.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Calcula |25|₅.
- PISTA 1
Una pista
La valoración es 2.
Un desarrollo posible.
25=5², con factor restante 1 de valoración cero.
Por tanto v₅(25)=2 y la definición de norma impone el exponente opuesto.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Calcula v₃(1/27).
- PISTA 1
Una pista
El primo está en el denominador.
Un desarrollo posible.
27=3³ está en el denominador, mientras el numerador 1 no aporta factores 3.
La valoración del cociente es v₃(1)−v₃(27)=0−3.
Se obtiene v₃(1/27)=−3; su norma sería 27, como comprobación del signo.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que vₚ(xy)=vₚ(x)+vₚ(y) para racionales no nulos.
- PISTA 1
Una pista
Separa las potencias de p de las unidades.
Un desarrollo posible.
Escribimos x=pᵃu e y=pᵇv, con a,b enteros y u,v de numerador y denominador no divisibles por p.
Multiplicar da xy=p^(a+b)uv.
El numerador y el denominador de uv siguen sin factor p; simplificar no puede introducirlo.
Por tanto uv tiene valoración 0 y vₚ(xy)=a+b=vₚ(x)+vₚ(y).
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué la familia con componente aₚ=1/p para todo primo no es un adele de Q.
- PISTA 1
Una pista
Comprueba integralidad p-ádica.
Un desarrollo posible.
Para ser adele no basta pertenecer a Qₚ en cada coordenada: se exige aₚ∈Zₚ salvo finitos primos.
En el lugar p se tiene vₚ(1/p)=−1, de modo que 1/p no pertenece a Zₚ.
Esto ocurre en todos los infinitos primos. Falla la restricción, sea cual sea la componente real elegida.