Calcula la traza de diag(2,3).
Suma la diagonal.
La traza se define como la suma de las entradas diagonales de una matriz cuadrada.
Para diag(2,3) esas entradas son 2 y 3.
tr(diag(2,3))=2+3=5, en los coeficientes ordinarios del ejercicio.
Calcula det(diag(1,−1)).
Multiplica la diagonal.
El determinante de una matriz diagonal es el producto de sus entradas diagonales.
Aquí son 1 y −1.
La conjugación compleja actúa en ζ₇ por exponente ¿qué residuo entre 0 y 6?
Usa −1 módulo 7.
La conjugación compleja envía toda raíz de unidad a su inversa.
En una raíz de orden 7, invertir corresponde al exponente −1 módulo 7.
Prueba que el determinante de una representación da un carácter.
Usa la multiplicatividad del determinante.
Una representación satisface ρ(στ)=ρ(σ)ρ(τ), con matrices invertibles.
Aplicamos el determinante y usamos su multiplicatividad: detρ(στ)=detρ(σ)·detρ(τ).
Como sus valores son no nulos, detρ toma valores en F× y es un homomorfismo de dimensión uno. Si se exige continuidad, también la hereda de ρ y del determinante.
Explica por qué traza y determinante no cambian al sustituir A por P^(−1)AP.
Usa invariancia de traza y multiplicatividad.
Para matrices cuadradas se cumple tr(BC)=tr(CB); tomando B=P⁻¹A y C=P se obtiene tr(P⁻¹AP)=tr(PP⁻¹A)=tr(A).
Para el determinante, det(P⁻¹AP)=det(P)⁻¹det(A)det(P), porque P es invertible.
Los factores de det(P) se cancelan y queda det(A). Ambos invariantes son independientes de la base.