Calcula χ del toro orientable de género 1.
Usa 2−2g.
Para una superficie orientable compacta de género g, χ=2−2g.
La evaluación de e(TT²) es ese mismo número cero; un campo no nulo puede construirse con una dirección constante en R²/Z².
Calcula la evaluación de e(TS²).
Es χ(S²).
S² tiene una 0-celda y una 2-celda, así que χ=1+1=2.
El teorema del tangente aplica porque la esfera es cerrada y orientada.
Se orientan de manera compatible el tangente y la clase fundamental.
¿En qué grado vive e de un fibrado orientado de rango 4?
El grado coincide con el rango.
La clase de Euler de un fibrado real orientado tiene grado igual al rango de sus fibras.
Para rango cuatro pertenece a H⁴(B;Z).
El grado pedido es 4, aunque el espacio total del fibrado pueda tener otra dimensión.
Explica por qué el fibrado trivial de línea tiene w₁=0.
Hay una sección global que orienta cada fibra.
Declarar positivo ese vector orienta cada fibra de manera compatible en toda la base.
Como existe orientación global, la obstrucción w₁ es cero. Esta conclusión no necesita que la base sea orientable como variedad.
Justifica por qué un campo tangente no nulo en S² contradiría Euler.
Usa la obstrucción de la clase de Euler.
Supón que TS² tuviera una sección global tangente no nula.
La propiedad de obstrucción de Euler implicaría e(TS²)=0 y, por tanto, evaluación cero en [S²].
La contradicción demuestra que todo campo tangente global tiene algún cero.