Si ker ∂ tiene dimensión 7 e im de la frontera entrante dimensión 3, ¿cuál es la dimensión de H?
PISTA 1
Una pista
Resta las dimensiones.
Un desarrollo posible.
Se presupone un complejo, por lo que la imagen de la frontera entrante está contenida en el núcleo de la saliente.
La dimensión del cociente es dimensión de ciclos menos dimensión de fronteras.
Por tanto dim H=7−3=4.
Se resta la imagen entrante, no la dimensión de un espacio de cadenas sin calcular su frontera.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Un espacio con tres componentes conexas por caminos tiene ¿qué b₀ sobre R?
PISTA 1
Una pista
Una clase independiente por componente.
Un desarrollo posible.
H₀ singular tiene una clase generadora por componente conexa por caminos.
Los caminos identifican los puntos de cada componente mediante fronteras y no producen relaciones entre componentes diferentes.
Con tres componentes se obtiene H₀(X;R)≅R³ y b₀=3.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es b₁(S¹) sobre R?
PISTA 1
Una pista
Hay un ciclo no rellenado.
Un desarrollo posible.
El CW del círculo tiene C₁=R y ∂₁=0.
No hay C₂, así que im∂₂=0 y H₁(S¹;R)≅R.
Su dimensión real es uno; por definición b₁(S¹)=1.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que toda frontera es ciclo.
PISTA 1
Una pista
Usa ∂²=0.
Un desarrollo posible.
Sea z una frontera de grado n; existe c∈Cₙ₊₁ con z=∂ₙ₊₁c.
Su frontera es ∂ₙz=∂ₙ∂ₙ₊₁c.
La identidad de complejo dice que esa composición es cero, así que z∈ker∂ₙ y es un ciclo. Este hecho permite dividir ciclos por fronteras.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica qué información puede perderse al usar coeficientes reales.
PISTA 1
Una pista
Los elementos de orden finito se anulan.
Un desarrollo posible.
La homología integral puede contener elementos de orden finito, por ejemplo H₁(RP²;Z)=Z/2Z.
Al tensorizar con R, si 2a=0 entonces a⊗r=(2a)⊗(r/2)=0, y la torsión desaparece.
Así los números de Betti reales detectan rangos, pero no esos órdenes finitos. Distintos grupos integrales pueden tener el mismo resultado real; por eso conviene mantener los coeficientes explícitos.