Un producto de clases de grados 2 y 5 tiene ¿qué grado?
Suma los grados.
El producto cup de grados p,q se define con resultado en grado p+q.
Aquí los grados son 2 y 5, por lo que 2+5=7.
El producto pertenece a H⁷; conocer el grado no asegura que la clase resultante sea no nula.
¿Cuál es el signo de intercambiar grados 2 y 3?
Calcula (−1)⁶.
La regla de intercambio lleva el factor (−1)^{pq}.
Las clases conmutan sin cambio de signo, aunque todavía puedan tener producto cero por otras razones.
¿Cuál es dim H²(T²;R)?
El producto de los dos generadores lo genera.
El anillo real del toro tiene base 1,a,b,a∪b, con a,b de grado uno.
La clase a∪b vive en grado dos y es no nula porque evalúa a uno sobre el toro orientado.
Es la única base en ese grado, por lo que dim H²(T²;R)=1.
Explica por qué el argumento del cuadrado impar cambia en característica 2.
2 es cero, no invertible.
Para una clase impar, conmutatividad graduada solo da a²=−a² y por tanto 2a²=0.
En característica dos se cumple 2=0 y −1=1, así que esa igualdad vale para cualquier cuadrado.
No se puede dividir por dos. Por ejemplo, la clase x de grado uno en H*(RP²;F₂) tiene x² no nulo.
Calcula (a+b)² en H*(T²;R).
Expande y usa signos.
En el toro real a²=b²=0 y b∪a=−a∪b porque ambos grados son uno.
Los dos términos cruzados se cancelan y el resultado es cero. La expansión respeta el orden de los factores antes de aplicar la regla de signos.