En dimensión 4, ¿cuánto vale *² sobre 2-formas con métrica riemanniana?
Usa (−1)^(k(n−k)).
La fórmula riemanniana orientada es *²=(−1)^{j(m−j)} sobre formas de grado j.
La métrica riemanniana es parte de la hipótesis; otras firmas cambian la fórmula.
Si *α=−α, ¿qué coeficiente de α aparece en α⁺?
Promedia α y −α.
El coeficiente de α es 0 y toda la forma queda en el sumando anti-autodual.
¿Cuál es la dimensión real de Λ² en un espacio de dimensión 4?
Elige dos índices de cuatro.
Una base de 2-formas se obtiene eligiendo pares i<j entre cuatro índices.
En una fibra riemanniana orientada se separa en dos autoespacios de dimensión 3, sin identificar esos números puntuales con b₂⁺,b₂⁻ globales.
Prueba que las proyecciones positiva y negativa suman la identidad.
Suma sus fórmulas.
Al sumarlas, los términos +*α y −*α se cancelan.
Queda (2α)/2=α para toda forma, así que P++P−=I. La identidad depende de usar las mismas métrica y orientación en ambas proyecciones.
Explica por qué un invariante gauge debe respetar equivalencia gauge.
Una transformación cambia la descripción de una conexión.
Una transformación gauge es un automorfismo del fibrado que cambia la referencia de una misma configuración geométrica.
La curvatura se transforma por conjugación y la ecuación ASD se conserva; toda una órbita gauge describe la misma solución geométrica.
Un conteo que separase los elementos de esa órbita dependería de la referencia y normalmente sería infinito. El invariante se construye en el cociente, controlando además estabilizadores y singularidades.