Dos superficies de dimensión 2 se cortan transversalmente en una variedad de dimensión 3. ¿Qué dimensión tiene el corte?
PISTA 1
Una pista
Usa 2+2−3.
Un desarrollo posible.
La hipótesis ya proporciona transversalidad de dos subvariedades de dimensión dos en un ambiente de dimensión tres.
La fórmula es dim(A∩B)=2+2−3.
El resultado es 1 en cada punto del corte no vacío; por tanto el corte es localmente una curva. También podría ser vacío si no hay puntos comunes.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Una curva y una superficie transversales en R³ tienen ¿qué dimensión de intersección?
PISTA 1
Una pista
Suma y resta dimensiones.
Un desarrollo posible.
La curva aporta dimensión uno, la superficie dimensión dos y el ambiente dimensión tres.
Bajo transversalidad, la dimensión del corte no vacío es 1+2−3=0.
Sus puntos son aislados localmente. Para concluir que hay finitos hace falta además una condición de compacidad apropiada.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es el rango de la matriz identidad 2×2?
PISTA 1
Una pista
Sus columnas son independientes.
Un desarrollo posible.
Las columnas de la identidad 2×2 son (1,0) y (0,1).
Si a(1,0)+b(0,1)=0, comparar coordenadas da a=b=0; son independientes.
Su imagen es todo R² y el rango es 2, que es el máximo posible.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que un valor regular produce una fibra de codimensión dim N.
PISTA 1
Una pista
Aplica transversalidad al subespacio formado por ese punto.
Un desarrollo posible.
Sea y un valor regular de f:M→N.
El subespacio S={y} tiene tangente cero y codimensión dimN.
La regularidad significa dfₓ(TₓM)=T_yN en cada punto de la fibra, que es exactamente f⋔{y}.
El teorema de preimagen da una subvariedad de codimensión dimN y dimensión dimM−dimN si la fibra no es vacía; la condición también permite una fibra vacía.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué una dimensión esperada negativa fuerza vacío bajo transversalidad.
PISTA 1
Una pista
Una variedad no vacía no tiene dimensión negativa.
Un desarrollo posible.
Supón que existe un punto común bajo transversalidad.
Entonces TₓA+TₓB=TₓN.
La fórmula lineal obliga a dim(TₓA∩TₓB)=dimA+dimB−dimN.
La dimensión de un espacio vectorial no puede ser negativa. Si la expresión esperada es negativa, la suposición de un punto común lleva a contradicción y el corte debe estar vacío.