Para h(z,w)=7+zw, calcula el residuo producto normalizado de h/(zw).
Evalúa h en (0,0).
El numerador h=7+zw es holomorfo y los polos son simples y separados.
La fórmula normalizada devuelve h(0,0).
Para h(z,w)=z+w, calcula ese residuo.
No hay término constante.
La fórmula de Cauchy producto selecciona el término constante de h.
Por tanto el residuo normalizado es 0.
¿Cuántos factores 2πi normalizan una integral de Cauchy en tres variables separadas?
Uno por variable.
Una integral de Cauchy en cada variable produce un factor 2πi.
Con tres variables separadas, la integral iterada produce (2πi)³.
Se necesitan tres factores 2πi en la normalización.
Deriva la fórmula del residuo producto mediante dos aplicaciones de Cauchy.
Integra primero respecto de w.
Aplicar Cauchy una segunda vez da (2πi)²h(0,0).
Dividir por (2πi)² deja h(0,0); la holomorfía cerca del polidisco cerrado justifica ambas aplicaciones.
Explica por qué invertir la orientación de uno de los círculos cambia el signo.
Cada integral orientada cambia de signo.
Una integral sobre una curva con orientación invertida es el negativo de la original.
Si solo se invierte uno de los dos círculos, solo uno de los dos factores cambia de signo.
La otra integral y la normalización permanecen iguales.
Por tanto el resultado total se multiplica por −1; invertir ambos círculos produciría dos signos y conservaría el resultado.