¿Qué grado mínimo positivo cubre la anulación del teorema B?
Los grados son q>0.
Por tanto el primer grupo cuya anulación garantiza es H¹(X,F), si X es Stein y F coherente.
¿Cuál es la dimensión compleja de C²?
Cuenta coordenadas.
Un punto de C² se escribe mediante dos coordenadas complejas independientes.
Cada una aporta una dimensión sobre C.
La dimensión compleja es 2; no se confunde con las cuatro dimensiones reales.
¿Una variedad compleja compacta conexa positiva puede separar todos sus puntos mediante funciones holomorfas? Responde sí/no.
Esas funciones son constantes.
En una variedad compleja compacta conexa, una función holomorfa global alcanza un máximo de su módulo.
El principio del máximo implica que es constante.
En dimensión positiva existen puntos distintos y una función constante toma el mismo valor en todos.
Ninguna familia de esas funciones puede separarlos; la respuesta es no.
Explica por qué el teorema B no afirma Hᑫ=0 para cualquier haz.
La categoría de haces está restringida.
El enunciado de Cartan B exige un haz analítico coherente de O_X-módulos.
Un haz arbitrario no tiene por qué satisfacer esa estructura ni la finitud local de relaciones.
Por ejemplo el haz constante C en C* tiene H¹≅C por la topología de la circunferencia, aunque C* sea Stein.
La anulación de H¹(C*,O) no contradice ese ejemplo porque los haces son distintos.
Compara la envolvente holomorfa y la convexa real de un compacto.
Cambian las funciones que imponen las desigualdades.
La envolvente holomorfa usa las desigualdades |f(x)|≤sup_K|f| para todas las funciones holomorfas globales.
La envolvente convexa real se obtiene con funcionales afines reales y controla segmentos.
Para K={a,b}⊂C con a≠b, el polinomio (z−a)(z−b) fuerza que la envolvente holomorfa esté en esos dos puntos.
La real contiene todo el segmento entre ellos, mostrando que ambas construcciones no coinciden en general.