EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Calcula ∫₀¹x e^x dx.
- PISTA 1
Una pista
Evalúa (x−1)e^x.
Un desarrollo posible.
Una primitiva de xeˣ es F(x)=(x−1)eˣ, obtenida por partes.
En el intervalo [0,1], F(1)=0·e=0 y F(0)=−1·1=−1.
La integral definida es F(1)−F(0)=0−(−1)=1.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Calcula ∫₀^π x sin x dx.
- PISTA 1
Una pista
Toma u=x, dv=sin x dx.
Un desarrollo posible.
Elegimos u=x y dv=sin x dx, con du=dx y v=−cos x.
Por partes se obtiene una primitiva −x cos x+sin x.
En π vale −π(−1)+0=π y en cero vale 0, por lo que la integral es π.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Calcula ∫₁^e log x dx.
- PISTA 1
Una pista
Usa x log x−x.
Un desarrollo posible.
Para x>0, una primitiva de ln x es x ln x−x.
En x=e da e·1−e=0 y en x=1 da 1·0−1=−1.
La diferencia de extremos es 0−(−1)=1.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Integra x cos x.
- PISTA 1
Una pista
Deriva x e integra cos x.
Un desarrollo posible.
Tomamos u=x y dv=cos x dx; entonces du=dx y v=sin x.
La fórmula da ∫x cos x dx=x sin x−∫sin x dx.
Como ∫sin x dx=−cos x, resulta x sin x+cos x+C; su derivada es x cos x.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Integra x²e^x.
- PISTA 1
Una pista
Repite por partes para reducir el grado.
Un desarrollo posible.
Con u=x² y dv=eˣdx, por partes queda I=x²eˣ−2∫xeˣdx.
La integral restante ya se conoce: ∫xeˣdx=xeˣ−eˣ, incorporando la constante al final.
Sustituir y reunir da I=eˣ(x²−2x+2)+C; al derivar, los términos adicionales se cancelan y queda x²eˣ.