Coeficiente de x⁵ en una primitiva de 5x⁴.
Divide entre el nuevo exponente.
La regla de potencias aumenta el exponente cuatro a cinco y divide entre cinco.
El coeficiente de x⁵ en cualquier primitiva es 1.
Calcula ∫₀¹4x³dx.
Una primitiva es x⁴.
El integrando 4x³ es continuo en [0,1] y tiene primitiva x⁴.
La integral definida vale 1 y no conserva una constante arbitraria.
Calcula ∫₀^π cos x dx.
Evalúa sin x en los extremos.
Una primitiva de cos x es sin x, con ángulos en radianes.
Evaluamos en los extremos del intervalo: sinπ−sin0.
Ambos valores son cero, así que la integral es 0 aunque el coseno no sea nulo en todo el intervalo.
Integra 1/x y declara dónde es válida la expresión.
El logaritmo admite valor absoluto.
El integrando 1/x está definido en las dos componentes x<0 y x>0, sin incluir cero.
En cada intervalo que no cruce cero, la derivada de ln|x| es 1/x, por lo que la familia es ln|x|+C.
Las constantes de las dos componentes pueden ser distintas; esta expresión no justifica una integral impropia atravesando cero.
Explica por qué ∫x·x dx no es (∫x dx)².
Compara las derivadas.
El producto x·x se simplifica primero a x², cuya familia de primitivas es x³/3+C.
Si se tomara una primitiva x²/2 de cada factor y se elevaran sus valores al cuadrado, aparecería x⁴/4.
La derivada de x⁴/4 es x³ y no x², lo que demuestra que no existe esa regla de producto para integrar.